ژانویه 21, 2021

پیشرفت های اخیر در مدل های تورمی۹۳- قسمت ۴

فصل اول
مبانی ریاضی کیهان شناسی استاندارد
۱-۱ کیهان شناسی
«مطالعه دینامیکی ساختار عالم به عنوان یک کل». این شاید ساده ترین تعریف از کیهان شناسی باشد [۱].
در این صورت ستارگان، کهکشان ها و حتی خوشه های کهکشانی به عنوان اجزایی در نظر گرفته می شوند که با مطالعه آنها بتوان به روند کلی تحول عالم پی برد.
اگر بخواهیم در مورد کیهان شناسی مطالعه ای داشته باشیم، شاید بهترین روش ارائه مدل های ریاضی باشد که با شواهد رصدی نیز سازگار باشند. نظریه نسبیت عام آلبرت اینشتین مدلی ریاضی ارائه می دهد که به تجربه ثابت شده است که می تواند به بسیاری از سوالات در مورد کیهان شناسی پاسخ دهد. با توجه به موفقیت های این نظریه و کاربردهای وسیع آن در کیهان شناسی، مطالعه این علم بدون نظریه نسبیت اینشتین غیر ممکن به نظر می رسد.
در این فصل سعی خواهیم کرد با تکیه بر اصل کیهان شناختی به یک مدل ریاضی برسیم که این مدل بتواند توجیه مناسبی برای بسیاری از مشاهدات رصدی در کیهان شناسی باشد.
۱-۲ اصل کیهان شناختی[۱]
این اصل بر این امر تاکید دارد که جهان ما در مقیاس بسیار بزرگ( گیگا پارسک) دارای دو ویژگی است. همگن بودن وهمسانگرد بودن [۱].
همسانگردی [۲]
به زبان ریاضی همسانگردی یعنی ناوردایی تحت چرخش. یا به عبارت دیگر اگر یک ویژگی همسانگرد باشد با چرخش محورهای مختصات این ویژگی تغییر نخواهد کرد.
همگنی[۳]
به زبان ریاضی می توان گفت که همگنی به معنای ناوردایی تحت انتقال است. یا به عبارت دیگر ویژگی مورد نظر ما با انتقال از یک مختصات به مختصات دیگر تغییر نخواهد کرد.
اما تعبیر همگن بودن و همسانگرد بودن در کیهان شناسی به این معنا است که عالم در مقیاس بسیار بزرگ دارای این ویژگی است که : عالم در تمام نقاط یکسان بنظر می رسد واز هر جهتی که به آن نگاه کنیم این یکسان بودن پابرجا خواهد بود. به عبارت دیگر هیچ جهت خاص و هیچ ناظر خاصی (مرجحی) وجود ندارد.
البته باید توجه داشت که این همگن بودن و همسانگردی به این معنا نیست که ما با یک جهان ایستا و ساکن روبرو هستیم. جهان با گذشت زمان به حرکت وتحول خود ادامه می دهد اما همگنی و همسانگردی خود را هم حفظ می کند .
شواهد رصدی اصل کیهان شناختی را مورد تائید قرار میدهند:
یکی از دلایل مهم برای همسانگردی جهان وجود تابش زمینه کیهانی [۴] است. پنزیاز[۵] و ویلسن[۶] در سال ۱۹۶۵ تابش زمینه کیهانی را کشف کردند [۲].
آنها تابشی با دمای ۲٫۷ درجه کلوین را ردیابی کردند که از تمام جهات آسمان ساطع می شد. این تابش با دقت یک درصد همسانگرد است.
برای همگن بودن هم هابل[۷] با مشاهدات دقیق خود توانست نشان دهد که کهکشان ها با سرعتی زیاد در حال دور شدن از هم هستند و می توان با توجه به قانون معروف هابل این همگنی را در زمان های مختلف ردیابی کرد [۳].
۱-۳ استفاده از تعبیر ریاضی اصل کیهان شناختی برای رسیدن به مدل فریدمن [۴] ،[۵] .
بردارهای کیلینگ[۸]
متریک را در نظر می گیریم. اگر بخواهیم ای متریک تحت یک انتقال مانند : → ناوردا باقی بماند باید داشته باشیم : که البته حالتی بسیار عمومی دارد.
اما اگر تمرکز خود را به یک انتقال بسیار کوچک مختصات معطوف کنیم، یعنی داشته باشیم :
→+
که انتقال از نقطه به نقطه است. آن گاه می توان نوشت :
حال تساوی به صورت زیر را برقرار می کنیم تا شرط ناوردایی را داشته باشیم :
از آنجا که بسیار کوچک است می توان با بسط تیلور و صرف نظر کردن از توان های بالا، معادله بالا را به صورت زیر تقریب زد
(+)()+()
واضح است برای اینکه در انتقال از به متریک ناوردا باقی بماند باید جمله سمت راست معادله بالا صفر باشد یعنی :
= ۰
صورت دیگر معادله بالا به این شکل خواهد بود :
دو معادله پایانی به معادلات کیلینگ معروفند و بردار نیز بردار کیلینگ نامیده می شود.
اگر در فضا ـ زمانی انتقالی مانند بالا صورت بگیرد و معادله کیلینگ برقرار باشد، می توان گفت که این فضا ـ زمان دارای تقارن[۹] است.
اگر فضا ـ زمانی بردارهای کیلینگ خود را داشته باشد و معادله بالا را ارضا کند می توان گفت که یک حالت ایزومتری خواهیم داشت.
به عنوان مثال می توان برای مختصات قطبی کروی معادله کیلینگ را برای و نوشت و بردارهای کیلینگ مستقل را بدست آورد.
که ضرایب را می توان بدست آورد.
حال می خواهیم همگنی و همسانگردی را از نگاه دیگری تعریف کنیم [۵].
همگنی: یک فضا – زمان را می توان همگن نامید در صورتی که در آن یک حالت ایزومتری در انتقال بسیار کوچک از نقطه P به نقطه P’،که این دو نقطه در نزدیکی هم قرار دارند، برقرار باشد.
به عبارت دیگر بردار کیلینگ در نقطه P بتواند هر مقدار ممکن را بگیرد و بتوانیم در این نقطه بردار مستقل خطی کیلینگ را انتخاب کنیم و با انتخاب مناسب در هر نقطه دلخواه در نزدیکی بردار کیلینگ را نوشت.
می توان با ادامه دادن این جابجایی های کوچک، از نقطه به هر نقطه دلخواه رسید.
همسانگردی : فضا ـ زمان به شرطی در نقطه داده شده همسانگرد است که بردار کیلینگ در همسایگی وجود داشته باشد بطوریکه و فضا را به صورت یک تانسور پاد متقارن مرتبه دو در نقطه پوشش دهد.

برای دانلود متن کامل این فایل به سایت torsa.ir مراجعه نمایید.