آوریل 13, 2021

متن کامل – پیشرفت های اخیر در مدل های تورمی۹۳- قسمت ۵

این معادل این است که معادله کیلینگ برابر صفر شود.
= ۰
بنابراین باید نتیجه گرفت که اگر متریکی داشته باشیم که آن متریک به همراه بردارهای کیلینگ خود در معادله کیلینگ صدق کند، این فضا همگن و همسانگرد است و بالعکس.
۱-۴ متریک رابرتسون – واکر
با توجه به اصل کیهان شناختی، در مقیاس بسیار بزرگ ما جهانی همگن و همسانگرد را مشاهده می کنیم. همانطور که اشاره شد این همگنی و همسانگردی می تواند به لحاظ ریاضی مورد توجه قرار بگیرد. یکی از مدلهایی که می توان برای شکل کلی جهان و روند تحول آن متصور شد، یک فضای متقارن کروی است.
این فضای متقارن را می توان به صورت یک کره در نظر گرفت. همان طور که گفته شد همگنی و همسانگردی در حالت ایستا معنا دارد، یعنی در طول زمان و افزایش شعاع این همگنی و همسانگردی تغییر می کند. بنابراین می توان حالت دو بعدی را برای این کره در نظر گرفت که فقط و که زوایای قطبی و سمتی هستند تغییر می کنند. از آنجا که با دو بعد سر و کار داریم باید سه بردار کیلینگ داشته باشیم [۶].
می توان نشان دادکه این سه بردار عبارتند از :
این بردارها خاصیت همسانگردی را تایید می کنند.
هم چنین می توان نشان داد که عنصر خطی برای این تقارن کروی به صورت زیر است :
حال برای یافتن متریک مورد نظر معادله کیلینگ را برای این مورد حل می کنیم
به عنوان مثال برای داریم :
و
برای داریم:
با حل همه این معادلات سرانجام می توان به ماتریس زیر رسید :
و عنصر خطی به صورت زیر نوشته می شود :
این عمومی ترین متریک برای یک فضای همسانگرد است .
همان طور که گفتیم بر اساس اصل کیهان شناختی فضا همگن است. در واقع اگر فضا حول یک نقطه همسانگرد باشد و تحت انتقال ناوردا باقی بماند همگن نیز خواهد بود.
حال بردارهای کیلینگ را برای چرخش می نویسیم [۶] :
که در مختصات کارتزین نوشته شده است. برای مختصات قطبی کروی داریم[۱] :
حال اگر معادله کیلینگ را در مورد بردارهای بالا بکارببریم داریم :
می بینیم که همه عناصر غیر قطری ماتریس صفر می شوند و در نهایت می توان را بدست آورد.
می توان نوشت[۶] :
در این رابطه ، t یک زمان “ جهانی “ است برای کل خمینه فضا-زمان. عامل یک عامل انبساطی است که بر روی عنصر فضایی متریک عمل می کند.
برای تفسیر بهتر قسمت فضایی به روش زیر عمل می کنیم.
فضای چهار بعدی را در نظر می گیریم که :
که معرف همان مختصات کارتزین است.
توجه داشته باشیم که در اینجا زمان نیست. این شبیه یک کره چهار بعدی با شعاع است.
حال معادل این را در مختصات کروی می نویسیم.
مجددا برای برقراری شرط همسانگردی ( که شرط همگنی را هم در پی خواهد داشت) بردارهای کیلینگ را بدست می آوریم. این بردارها برای ناوردایی تحت چرخش که متضمن همسانگردی است عبارتند از :
با جاگذاری برای داریم :
که در نهایت می رسیم به :
که همان نتیجه قبلی است. به همان روش قبلی می توانیم را بنویسیم :
از آنجا که ، که b همان شعاع کره چهار بعدی در نظر گرفته شده است، و اینکه بنابراین می توان نوشت :
هم چنین می توان این کره چهاربعدی را در فضای مختلط نوشت :
که در آن صورت داریم:
و با جاگذاری و خواهیم داشت:
و سرانجام می توان نوشت :
که مقادیر ۱ و ۰ و ۱- را می گیرد که به ترتیب نشانگر جهانی بسته،تخت و یا باز خواهد بود.
این متریک نشان دهنده جهانی همگن وهمسانگرد است. عامل توصیف کننده گسترش فضا است. این متریک به متریک رابرتسون – واکر [۱۰] معروف است.
۱-۵ معادلات میدان اینشتین [۶]
بی شک معادلات میدان اینشتین یکی از مهمترین عناصر تشکیل دهنده کیهان شناسی مدرن می باشد.

دانلود کامل پایان نامه در سایت pifo.ir موجود است.