آوریل 17, 2021

کنترل غیرخطی بهینه ی جرثقیل های حامل کانتینر با استفاده از معادلات …

در بسیاری از کاربردها با تعداد متعددی از اجسام صلب[۴۲] سرکار داریم که به شکلی به هم متصلند. به چنین اتصالاتی، قیود میگویند. این قیود یک سری شروط اضافی را برای حرکت نسبی یک جسم به جسم دیگر تحمیل میکنند. این مجموعه از اجسام مقید را سیستم مکانیکی مینامند[۱۶]. جرثقیلهای حامل کانتینر را هم میتوان به صورت یک سیستم دینامیکی در نظر گرفت.
ابتدا به مفهوم درجه آزادی در سیستمهای مکانیکی میپردازیم. درجه آزادی به معنای تعداد حرکات ممکن سیستماتیکی مستقل میباشد. یک جسم صلب در فضای سهبعدی دارای شش درجهی آزادی و در حرکت صفحهای (مدل دوبعدی)، دارای سه درجهی آزادی میباشد.
قیود مکانیکی یا به صورت معادلات جبری[۴۳] و یا نامعادله[۴۴] بیان میشوند. این قیود باعث میشوند که سیستم مکانیکی در یک مسیر محدود، که به آن حرکت قابل قبول[۴۵] میگویند، حرکت کنند. برای اینکه هر جسم در مسیری که قید حرکت آن را به آن محدود کرده حرکت بکند؛ یک نیروی قیدی[۴۶] به آن وارد میشود. استفاده از روابط نیوتون در مدلسازی سیستمهای مکانیکی بسیار پیچیده خواهد بود. دلیل آن هم در این است که اولاً باید تمامی نیروهای قیدی در روابط منظور بشوند. دوماً نیروهای کنش و واکنش بین دو جسم در آن ظاهر شده و تمامی نیروها در معادلات آن به شکل برداری میباشند. سوماً، با استفاده از روش نیوتون برای N جسم، ۳N درجه آزادی سیستم در حالت دوبعدی میکاهند. از آنجا که تنها لازم است تعداد معادلات به اندازهی تعداد درجات آزادی سیستم باشند؛ معادلات نیوتون از این لحاظ نیز کار را بسیار پیچیده میکنند.
مدلسازی بر اساس روش لاگرانژ این مشکلات را حل میکند. روش کار به این صورت است که موقعیت هر جسم را به صورت یک بردار در نظر میگیرم. سپس انرژی جنبشی و پتانسیل هر جسم را با استفاده از آن بدست میآوریم. L را به صورت زیر تعریف میکنیم:

دانلود متن کامل پایان نامه در سایت jemo.ir موجود است

‏۲‑۱

در استفاده از روش لاگرانژ، بردارهای مختصات را به جهت حرکت برای هر درجهی آزادی انتقال میدهیم. هر یک از این جهات را با qi و نیروی وارد شده بر هریک را با Qi نشان میدهیم. با این حساب برای رسیدن به مدل ریاضی یک سیستم مکانیکی تنها کافی است که رابطهی زیر را برای هر درجهی آزادی بنویسیم:

‏۲‑۲

با این حساب، به ازای هر درجهی آزادی یک معادله خواهیم داشت؛ که این به معنای حداقل معادلهی ممکن میباشد.

مدلسازی جرثقیلهای حامل کانتینر

همانطوریکه در شکل (‏۲‑۱) نشان داده شده است؛ هدف ما کنترل مدل پیشنهاد داده شده در[۱۴] میباشد. این سیستم مکانیکی شامل سه جسم ارابه، سکوی کانتینر و کانتینر میباشد. به منظور افزایش درجهی آزادی مکانیکی سیستم، سکوی کانتینر شامل صفحهی لغزنده پیشنهادی میباشد. با این حال به دلیل این که جرم کانتینر به مراتب بیشتر از جرم صفحه لغزنده میباشد؛ جرم صفحهی لغزنده را هم با جرم آنها را به شکل جرم یک جسم (کانتینر) فرض میکنیم.
شکل‏۲‑۱-مدل جرثقیل حامل کانتینر [۱۴]
در این حالت جرثقیل دارای یک درجه آزادی میباشد. (تاب خوردن کابل به اندازه ϕ) با افزودن صفحهی لغزنده و امکان حرکت خطی آن توسط موتور تعبیه شده به آن، یک درجهی آزادی دیگر به ان اضافه میشود. (xc)، در نتیجه دو معادلهی لاگرانژ برای  و  باید برای آن نوشت. یک ورودی عمومی هم در صفحهی لغزنده توسط موتور به معادلهی لاگرانژ اول وارد میشود. (Qi) در واقع با تغییر فاصلهی بین مرکز جرم سکوی کانتینر توسط کنترلکننده، مرکز جرم کل سیستم مکانیکی تغییر مکانیکی تغییر میکند. این باعث میشود که انحراف کابل به میزان ϕ نیز تغییر بکند. در نتیجه میتوان با اینکار مقدار تابخوردن را تنظیم نمود.
دقت شود که تاب خوردن طناب را با c نیز میتوان حساب کرد. اما بهدست آوردن زاویهی منحرف شدهی ϕ توسط یک پتانسیومتر[۴۷] به مراتب سادهتر از c، که نیاز به حسگرهای پیچیدهی دوربینی دارد، میباشد. بنابراین در اینجا مدلسازی را بر حسب  انجام میدهیم.
حال بهدست اوردن معادلات ریاضی جرثقیل دوبعدی توسط روش لاگرانژ میپردازیم. سیستم مکانیکی از سه جسم، ارابه (با اندیس t) سکوی کانتینر ( با اندیسs) و کانتینر (با اندیسc) تشکیل شده است. در این حالت تمامی حرکات خطی میباشند. بنابراین تمامی سرعتهای زاویهای در آن صفر میباشند. در نتیجه انرژی پتانسیل مکانیکی، که مجموعه انرژی هر سه جسم میباشد، توسط رابطهی زیر بهدست میآید:

‏۲‑۳

برای بهدستآوردن سرعتهای هر جسم، ابتدا باید بردار موقعیت مرکز جرم هر یک از آنها را حساب نمود. با توجه به شکل‏۲‑۱ بردار موقعیت هر یک از سه جسم در زیر بدست آمدهاند:

‏۲‑۴